Implicit Function Theorem
定义 Definition
implicit function theorem（隐函数定理）：数学分析与微分几何中的一个基本定理。它说明：在一定的可微条件下，如果一个方程（或方程组）(F(x,y)=0) 在某点附近满足合适的“非退化”条件（常见表述为对 (y) 的偏导/雅可比不为零或可逆），那么就可以在该点附近把 (y) 表示为 (x) 的函数 (y=f(x))，并且这个函数具有相应的连续性与可微性。
发音 Pronunciation (IPA)
/ɪmˈplɪsɪt ˈfʌŋkʃən ˈθiːərəm/
例句 Examples
The implicit function theorem lets us solve for (y) as a function of (x) near the point.
隐函数定理让我们在该点附近把 (y) 视为 (x) 的函数来求解。
Using the implicit function theorem, we can prove that the constraint (g(x,y,z)=0) defines a smooth surface locally when the relevant Jacobian is nonzero.
利用隐函数定理，当相应的雅可比行列式不为零时，我们可以证明约束 (g(x,y,z)=0) 在局部定义了一张光滑曲面。
词源 Etymology
- implicit 源自拉丁语 implicare，意为“缠绕在内、包含其中”，引申为“未明说但包含在内的”，对应“隐式”。
- function 源自拉丁语 functio，意为“执行、作用”，后来用于表示“函数/功能”。
- theorem 源自希腊语 theōrēma，意为“经观察得到的结论”，在数学中指“可证明的定理”。
相关词 Related Words
文学与著作中的出现 Literary Works
- Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis（《数学分析原理》）：在多元微分与局部性质相关章节中讨论隐函数定理。
- Michael Spivak, Calculus（《微积分》）：以几何直观与严格证明相结合的方式介绍隐函数思想与相关结论。
- Tom M. Apostol, Mathematical Analysis（《数学分析》）：在多元分析部分系统呈现隐函数定理及其应用。
- Loomis & Sternberg, Advanced Calculus（《高等微积分》）：将隐函数定理作为多元微积分与流形理论的关键工具之一。
- Frank W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups（《可微流形与李群基础》）：用隐函数定理建立子流形的局部刻画与坐标化方法。
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